Minicurso: Os três B’s da teoria topológica de coincidências

Resumo: Data de 1817 o primeiro teorema topológico de coincidências de que se tem notícia; passados mais de dois séculos encontra-se em todo bom livro de Cálculo I. Trata-se no Teorema do Anulamento de Bolzado – donde vem o primeiro B do título – em respeito ao padre católico, matemático, teólogo e filósofo da antiga Boémia, atual República Checa, Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano.
O segundo B é uma referência ao Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Demonstrado em 1912 pelo matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer, é considerado um dos mais célebres teoremas de toda a matemática, notadamente da topologia.
Finalmente, o terceiro B vem de Karol Borsuk, matemático polonês que em 1933 provou a conjectura do matemático ucraniano Stanislaw Ulam, resultado que então passou a ser chamado o Teorema de Borsok-Ulam, inaugurando uma nova linha de pesquisa em teoria de coincidências.
Ao passo que o Teorema de Bolzano consta do programa de todo curso de Cálculo I, os Teoremas de Brouwer e de Borsuk-Ulam raramente comparecem nos currículos de graduação; com sorte nos
currículos de mestrado. De fato, as versões mais gerais destes dois teoremas são assunto da topologia algébrica, disciplina a que estudantes normalmente têm acesso apenas num curso de doutorado.
Não obstante, os Teoremas de Brouwer e de Borsuk-Ulam possuem versões em dimensões baixas que podem ser compreendidas por meio de provas de forte apelo geométrico e de pleno alcance à cognição de estudantes de graduação. A isto se propõe este minicurso: apresentar de forma intuitiva e acessível estes notáveis teoremas e algumas de suas mais curiosas aplicações.