Palestra 1: Semigrupos numéricos

Resumo: Considere o seguinte problema: Qual a maior quantia que não pode ser obtida utilizando apenas moedas de valor 5 e 7? Este problema é conhecido como o problema das moedas de Frobenius, atribuído ao matemático alemão Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917). Para resolvê-lo utilizamos o conceito de semigrupo numérico. Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais, fechado para a soma, que contém o zero e cujo complemento em IN é finito. Apesar de ser uma estrutura muito simples e de fácil compreensão, existem muitos problemas envolvendo semigrupos que ainda não foram resolvidos. A resposta para o problema de Frobenius enunciado acima é 23. Este número é o maior número natural não pertencente ao semigrupo gerado por 5 e 7 e é chamado número de Frobenius, em homenagem ao criador do problema. A caracterização do número de Frobenius de um semigrupo numérico gerado por mais de dois elementos é um dos problemas em aberto que envolvem esta teoria.