Minicurso 1: Teoria Axiomática de Homologia e Aplicações

Resumo: A teoria de homologia é uma das mais versáteis e poderosas ferramentas da topologia algébrica; uma engenhosidade capaz de revelar, por meio da construção de pontes entre os universos da topologia e da álgebra, características topológicas por vezes inacessíveis à intuição humana, mas que se tornam cristalinas em meio a estruturas algébricas adequadas. Há várias teorias de homologia que, em categoria apropriada, podem ser agasalhadas sob um mesmo arcabouço axiomático. A isto se dedicará o início deste minicurso: à formulação da homologia por meio dos axiomas de Eilenberg-Steenrod. Isso será o bastante para que possamos calcular a homologia de alguns espaços familiares e os homomorfismos induzidos em homologia por algumas funções. Para o caso particular de autofunções de esferas, introduziremos o conceito de grau homológico e exploraremos suas propriedades. Como aplicação, apresentaremos, em linhas gerais, alguns dos mais célebres teoremas da topologia, a saber, o teorema do Ponto Fixo de Brouwer, o teorema de Borsuk-Ulam e o teorema do Ouriço de Poincaré.